Naturlig nok ble jeg fascinert over phis eiendommelige egenskaper...

- Thomas M. Johanson

Fibonaccis gyldne phi

Skrevet av Thomas M. Johanson, høsten 2003.

Innholdsfortegnelse

Problemstilling
Bakgrunn
Hva er "det gyldne snitt"?
Hva er Fibonaccis tallfølge?
Hva er tallet "phi"?
Litteraturliste

Problemstilling

Hva er "det gyldne snitt", Fibonaccis tallfølge, samt tallet "phi", og hva har de med hverandre å gjøre?

Bakgrunn

Min interesse for tallet "phi" og "det gyldne snitt" ble vekket da jeg leste boken "The Da Vinci Code" av Dan Brown. I denne intellektuelle spenningsromanen (som jeg anbefaler på det varmeste) tar hovedpersonen i bruk Fibonaccis tallfølge for å løse en kryptert kode, og samtidig gis en liten innføring i tallet "phi" og "det gyldne snitt" og dets forekomster i naturen og i menneskeskapte kunstverk og arkitektoniske konstruksjoner (Brown 2003:93-97). Naturlig nok ble jeg fascinert over phis eiendommelige egenskaper, og ønsket å finne ut mer om tallet.

Hva er "det gyldne snitt"?

Gjennomsnittet (middelverdien) av to tall vil på en tallinje ligge midt mellom de to tallene, altså like langt fra dem begge. Et gyldent snitt vil derimot dele tallinjen i en annen proporsjon. Det gyldne snitt er dog ikke primært fokusert på inndeling av tallinjer, men heller på deling av vanlige linjestykker:

|------------|-------|
A P B

Det gyldne snitt er en deling av et linjestykke (AB) slik at forholdet mellom den korteste delen (BP) og den lengste delen (AP) er lik forholdet mellom den lengste delen (AP) og hele linjestykket (AB):

BP / AP = AP / AB

I Euclids verk "Elementene" (bok II og VI) finnes en beskrivelse av det gyldne snitt. Ettersom Euclid (ca 365-300 f.Kr.) skrev om allerede kjente matematiske oppdagelser, må det gyldne snitt ha vært studert før den tid, blant annet av Platon (ca 428-347 f.Kr.) og muligens også av Pythagoras (ca 540 f.Kr.) (O'Connor 2001). Platon anså det gyldne snitt som "the most binding of all mathematical relationships and the key to the physics of the cosmos" (Meisner 2003).

Opprinnelsen til betegnelsen "det gyldne snitt" er noe uklar, men betegnelsen stammer trolig fra renessansekunstneren Leonardo da Vinci som omtalte delingen av linjestykket som "sectio aurea" (latinsk for "gyldent snitt") (Knott 2003a). Leonardo brukte det gyldne snitt i mange av sine kunstverk, bl.a. i de berømte maleriene "Mona Lisa" og "Nattverden" -- for ikke å glemme "Idealmannen"/"Vetruvian". Det samme gjelder mange av de andre renessansekunstnerne.

I "Elementene" beskriver Euclid hvordan man kan konstuere et regulært pentagon (O'Connor 2001). I et regulært pentagon vil forholdet mellom alle linjestykkene være i henhold til det gyldne snitt:

"Because if you draw a pentagram, the lines automatically divide themselves into segments according to the [Golden Ratio] [...] making this symbol the ultimate expression of the [Golden Ratio]. For this reason, the five-pointed star has always been the symbol for beauty and perfection [...]" (Brown 2003:96).

Beslektet med det gyldne snitt er det gyldne rektangel. Ethvert rektangel kan tenkes å bestå av et kvadrat og et mindre rektangel, og i et gyldent rektangel er forholdet mellom kortsiden og langsiden av rektangelet lik forholdet mellom kortsiden og langsiden i det mindre rektangelet. Man kan dele det mindre rektangelet inn i et nytt (mindre) kvadrat og et nytt (enda mindre) rektangel, og fortsatt beholde det samme forholdet mellom sidene. Det ligger dog utenfor problemstillingen å gå nærmere inne på dette.

Hva er Fibonaccis tallfølge?

Leonardo Fibonacci ble født i Italia i 1175, og hans "most notable contribution to mathematics was a work known as Liber Abaci, which became a pivotal influence in adoption by the Europeans of the Arabic decimal system of counting over Roman numerals" (Meisner 2003).

Det er allikevel ikke for sin dominerende rolle ved omstillingen til den hindu-arabiske titallsaritmetikk i Europa at Fibonacci er mest kjent i våre dager. I den tredje delen av det tidligere nevnte matematiske verk, Liber Abaci, stiller han opp et problem som gir opphav til Fibonacci-tallfølgen:

"A certain man put a pair of rabbits in a place surrounded on all sides by a wall. How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a year if it is supposed that every month each pair begets a new pair which from the second month on becomes productive?" (O'Connor 1998).

Antall kaninpar hver måned vil være:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

I denne tallfølgen er ethvert element summen av de to foregående, altså:

F(n+2) = F(n+1) + F(n)

Når vi bruker denne summeringsregelen, samt setter F(1) = F(2) = 1, så får vi altså hva vi kaller Fibonaccis tallfølge.

Finnes det noe mønster i Fionacci-tallene? Ja, dersom vi ser på det siste sifferet i hvert tall vil vi etter 60 tall finne at sifrene gjentar seg. De to siste sifrene i hvert tall gjentar seg etter 300 tall, de tre siste etter 1.500 tall, de fire siste etter 15.000 tall, de fem siste etter 150.000 tall, osv. (Knott 2003b).

Pascals talltrekant kan hjelpe oss med å finne Fibonacci-tallene. Ved å fremstille talltrekanten på en litt annen måte enn man vanligvis gjør, vil man se at summen av tallene i hver kolonne gir oss Fibonacci-tallene (Knott 2003b):

1   2   3   4   5   6   7   8   9 10 11 12
---------------------------------------------
1
    1   1
        1   2   1
            1   3   3   1
                1   4   6   4   1
                    1   5 10 10   5   1
                        1   6 15 20 15   6
                            1   7 21 35 35
                                1   8 28 56
                                    1   9 36
                                        1 10
---------------------------------------------
1 1   2   3   5   8 13 21 34 55 89 143
---------------------------------------------

Grunnen til at man kan finne Fibonacci-tallene i talltrekanten har å gjøre med at ethvert tall i Pascals talltrekant (slik den er fremstilt her) alltid er summen av de to tallene som står én og to kolonner til venstre i raden over. Summen av alle tallene i en kolonne er da lik summen av tallene i de to foregående kolonnene -- hvilket er ensbetydende med definisjonen av Fibonaccis tallfølge.

Hva er tallet "phi"?

For å forstå hva det gyldne snitt og Fibonaccis tallfølge har med phi å gjøre, må vi først vende tilbake til det linjestykket vi tok utgangspunkt i da vi så nærmere på det gyldne snitt. Vi setter nå linjestykket AB lik x, og linjestykket AP lik 1:

x
|--------------------|
A B

1 x-1
|------------|-------|
A P B

Vi får da:

    BP / AP = AP / AB
  (x-1) / 1 = 1 / x
    x^2 - x = 1
x^2 - x - 1 = 0

Den positive løsningen på denne likningen er:

x = (ROT(5)+1) / 2 = 1,61803398... = F

Dette irrasjonale tallet har fått et eget symbol, F, og kalles phi (uttales fi). "Phi is the first letter of Phidias, [... a Greek sculptor and mathematician [who] studied phi and applied it to the design of sculptures for the Parthenon], as well as the Greek equivalent to the letter 'F,' the first letter of Fibonacci" (Meisner 2003).

Her dukker altså Fibonacci opp igjen, men hva har han med phi å gjøre? Vel, det viser seg at forholdet mellom to Fibonacci-tall som står ved siden av hverandre nærmer seg phi! Jo lengre ut i tallfølgen vi befinner oss, jo nærere phi ligger tallforholdet. La oss se på dette i en tabell:

n     F(n)   F(n-1)   F(n)/F(n-1)    Forskjell fra F
-----------------------------------------------------
1        1        0             ...              ...
2        1        1   1,00000000000   -0,61803398875
3        2        1   2,00000000000   +0,38196601125
4        3        2   1,50000000000   -0,11803398875
5        5        3   1,66666666667   +0,04863267792
6        8        5   1,60000000000   -0,01803398875
7       13        8   1,62500000000   +0,00696601125
8       21       13   1,61538461538   -0,00264937337
..      ...      ...             ...              ...
25    75025    46368   1,61803398896   +0,00000000021
26   121393    75025   1,61803398867   -0,00000000008
27   196418   121393   1,61803398878   +0,00000000003
28   317811   196418   1,61803398874   -0,00000000001

Det er noe usikkert om Leonardo Fibonacci selv var klar over denne sammenhengen mellom Fibonacci-tallfølgen og tallet phi (Meisner 2003).

Sammenhengen med phi er dog ikke unik for Fibonacci-tallene. Faktisk gjelder den for ethvert tallpar når man summerer dem på samme måte som Fibonacci-tallfølgen! For å se hvordan dette henger sammen velger vi to tilfeldige tall, x og y (tallene kan gode være like, forutsatt at de ikke begge er lik null). Tallfølgen vi får når vi summerer dem på en "Fibonacci-aktig" måte er:

x, y, x+y, x+2y, 2x+3y, 3x+5y, 5x+8y, 8x+13y, 13x+21y, ...

Som vi ser vil koeffisientene til variablene være Fibonacci-tall:

... F(n) * x + F(n+1) * y

Dette utnytter vi i den videre regningen. Vi ønsker å finne ut forholdet mellom to ledd i denne tallfølgen:

F(n) * x + F(n+1) * y
-----------------------
F(n-1) * x + F(n) * y

Videre dividerer vi teller og nevner med F(n):

x + (F(n+1)/F(n)) * y
-----------------------
(F(n-1)/F(n)) * x + y

Når n er et stort tall vet vi at F(n+1)/F(n)=F og F(n-1)/F(n)=1/F. Vi får:

x + F * y F * ( (1/F) * x + y )
--------------- = ----------------------- = F
(1/F) * x + y (1/F) * x + y

Vi ser altså at uansett hvilke verdier vi velger for x og y (bortsett fra x=y=0), så vil forholdet mellom to tall som står ved siden av hverandre i tallfølgen nærme seg phi.

Tallet phi har noen spesielle egenskaper, hvilket vi ser når vi går tilbake til likningen for det gyldne snitt. Ved å manipulere likningen kan den skrives slik (x er erstattet med F):

F^2 = F + 1 og 1 / F = F - 1

Ved å kvadrere phi får vi altså et tall som er nøyaktig 1 større enn phi, og vi får et tall som er nøyaktig 1 mindre enn phi dersom vi inverserer phi. Ingen andre tall har begge disse egenskapene (bortsett fra tallet 1-F, hvilket er den negative løsningen på likningen for det gyldne snitt).

Det som kanskje gjør tallet phi enda mer spesielt er at det finnes nærmest over alt i naturen rundt oss -- og i oss! Ved å måle menneskekroppen kan man finne svært mange tallforhold som er lik phi:

"Nobody understood better than Da Vinci the [golden] structure of the human body. Da Vinci actually exhumed corpses to measure the exact proportions of human bone structure. He was the first to show that the human body is literally made of building blocks whose proportional ratios always equal PHI." (Brown 2003:95).

Som eksempler kan nevnes forholdet mellom avstanden fra hodet til fotsålene, og avstanden fra navlen til fotsålene. Det samme gjelder forholdet mellom avstanden fra skulder til fingertuppene, og avstanden fra albue til fingertuppene. Mange flere eksempler finnes (Brown 2003:95).

Det samme kan sies om funn fra dyre- og planteriket. For eksempel vil forholdet mellom antall hunn-bier og antall hann-bier i en bikube alltid være tilnærmet lik phi (Brown 2003:94). Solsikkefrøene i en solsikke er plassert i et spiralformet mønster, og antallet spiraler i én retning og antallet i motsatt retning vil være to Fibonacci-tall -- og som vi vet er forholdet mellom to Fibonacci-tall tilnærmet lik phi. Vi finner samme sammenheng i kongler og blomkål.

Oppsummering

Vi har sett at det gyldne snitt deler et linjestykke på en slik måte at forholdet mellom den korteste delen og den lengste delen er lik forholdet mellom den lengste delen og hele linjestykket. Disse forholdene er lik tallet phi, et irrasjonalt tall med verdien F = 1,618...

Sammenhengen mellom tallet phi og Fibonacci-tallfølgen er at vi tilnærmet får tallet phi når vi dividerer to Fibonacci-nabotall med hverandre. Hvert Fibonacci-tall er summen av de to foregående (og tallfølgen begynner med to ett-tall). I alle tallfølger som dannes ved å summere de to foregående tallene vil forholdet mellom to tall som står ved siden av hverandre tilnærmet være lik phi.

Det gyldne snitt, samt Fibonacci-tall og tallforhold lik phi, finner vi både i naturen og i menneskeskapt kunst.

Litteraturliste

BROWN, D. (2003): The Da Vinci Code. Doubleday.

KNOTT, R. (2003a): The Golden section ratio: Phi. Hentet fra Internett 13. november 2003. URL: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html

KNOTT, R. (2003b): The Mathematical Magic of the Fibonacci Numbers. Hentet fra Internett 13. november 2003. URL: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html

MEISNER, G. (2003): A History of the Golden Mean. Hentet fra Internett 13. november 2003. URL: http://www.goldennumber.net/history.htm

O'CONNOR, J. J. og E. F. Robertson (1998): Leonardo Pisano Fibonacci. Hentet fra Internett 13. november 2003. URL:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Fibonacci.html

O'CONNOR, J. J. og E. F. Robertson (2001): The Golden ratio. Hentet fra Internett 13. november 2003. URL: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Golden_ratio.html

Tilbake www.frihet.org Innholdsoversikt